Question

13．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_2n=2a_n+3，S₃=3，數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，b₁+b₃=10a₃，b₂+b₄=10a₆．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{_{n}}{（_{n-1}+1）（_{n}+1）（_{n+1}+1）}$，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n，并求使得T_n＜λ²$-\frac{1}{16}$λ恒成立的實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可得出；
（2）利用“裂項求和”與不等式的解法即可得出．

解答 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a_2n=2a_n+3，S₃=3，
∴a₂=2a₁+3=a₁+d，3a₁+3d=3，
解得a₁=-1，d=2．
∴a_n=-1+2（n-1）=2n-3．
設(shè)等比數(shù)列{b_n}的公比為q，∵b₁+b₃=10a₃，b₂+b₄=10a₆．
∴$_{1}（1+{q}^{2}）=10$×3，$_{1}（q+{q}^{3}）$=10×9，
解得b₁=3，q=3．
∴b_n=3ⁿ．
（2）c_n=$\frac{_{n}}{（_{n-1}+1）（_{n}+1）（_{n+1}+1）}$=$\frac{{3}^{n}}{（{3}^{n-1}+1）（{3}^{n}+1）（{3}^{n+1}+1）}$=$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{{3}^{n-1}+1}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$-$\frac{1}{2}（\frac{1}{{3}^{n}+1}-\frac{1}{{3}^{n+1}+1}）$，
∴數(shù)列{c_n}的前n項和T_n=$\frac{3}{2}$$（\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n}+1}）$-$\frac{1}{2}（\frac{1}{4}-\frac{1}{{3}^{n+1}+1}）$=$\frac{5}{8}$-$\frac{3}{2（{3}^{n}+1）}$+$\frac{1}{2（{3}^{n+1}+1）}$=$\frac{5}{8}$-$\frac{4×{3}^{n}+1}{（{3}^{n}+1）（{3}^{n+1}+1）}$＜$\frac{5}{8}$，
T_n＜λ²$-\frac{1}{16}$λ恒成立，化為$\frac{5}{8}$≤λ²$-\frac{1}{16}$λ，即16λ²-λ-10≥0，
解得：λ≥$\frac{1+\sqrt{641}}{32}$，或$λ≤\frac{1-\sqrt{641}}{32}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式、“裂項求和”與不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．