Question

3．函數(shù)f（x）=x+ax²+blnx的圖象在點P（1，0）處的切線斜率為2．
（1）求a，b的值；
（2）證明：f（x）≤2x-2對任意正實數(shù)x恒成立．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和斜率的關(guān)系以及函數(shù)值，列出方程組，即可求a，b的值；
（2）設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3ln x，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，然后證明f（x）≤2x-2對任意正實數(shù)x恒成立．

解答 （1）解：由題設(shè)，y=f（x）在點P（1，0）處切線的斜率為2．
∴$\left\{{\begin{array}{l}{f（1）=1+a=0}\\{f'（1）=1+2a+b=2}\end{array}}\right.$，解之得$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\end{array}}\right.$（6分）
因此實數(shù)a，b的值分別為-1和3．
（2）證明：f（x）=x-x²+3lnx（x＞0）．
設(shè)g（x）=f（x）-（2x-2）=2-x-x²+3ln x，
則g′（x）=-1-2x+$\frac{3}{x}$=-$\frac{（x-1）（2x+3）}{x}$．
當(dāng)0＜x＜1時，g′（x）＞0；當(dāng)x＞1時，g′（x）＜0．
∴g（x）在 （0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
∴g（x）在x=1處有最大值g（1）=0，
∴f（x）-（2x-2）≤0，即f（x）≤2x-2，得證．（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)切線及最值，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．