Question

12．已知向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，滿足|$\overrightarrow a$|=1，|$\overrightarrow b$|=1，|k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow a$-k$\overrightarrow b$|，k＞0，
（1）用k表示$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$，并求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ的最大值；
【注：若a＞0，b＞0，則a+b≥2$\sqrt{ab}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號】
（2）如果$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，求實(shí)數(shù)k的值．

Answer 1

分析 （1）將|k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow a$-k$\overrightarrow b$|兩邊平方化簡即可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$，利用基本不等式求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$的最小值即可得出夾角的最大值；
（2）令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=±1，解方程得出k．

解答 解：（1）∵|k$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{3}$|$\overrightarrow a$-k$\overrightarrow b$|，∴（k$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）²=3（$\overrightarrow{a}$-k$\overrightarrow$）²，
即k²${\overrightarrow{a}}^{2}$+2k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+${\overrightarrow}^{2}$=3${\overrightarrow{a}}^{2}$-6k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$+3k²$\overrightarrow$²，
∴8k$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=2k²+2，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$，
∵$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=$\frac{1}{4}$（k+$\frac{1}{k}$）≥$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{1}{k}$即k=1時(shí)取等號．
∴當(dāng)$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cosθ=$\frac{1}{2}$時(shí)，θ取得最大值．
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ的最大值為$\frac{π}{3}$．
（2）∵$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，
∴$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$夾角為0°或180°，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=cosθ=±1，
∴$\frac{{k}^{2}+1}{4k}$=±1，解的k=±2$±\sqrt{3}$．
又∵k＞0，
∴k=2±$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．