Question

6．設(shè)P為雙曲線(xiàn)${x^2}-\frac{y^2}{15}=1$右支上一點(diǎn)，M，N分別是圓（x+4）²+y²=4和（x-4）²+y²=1上的點(diǎn)，設(shè)|PM|-|PN|的最大值和最小值分別為m，n，則|m-n|=（　�。�

• A． 4
• B． 5
• C． 6
• D． 7

Answer 1

分析 求得兩圓的圓心和半徑，設(shè)雙曲線(xiàn)的左右焦點(diǎn)為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），連接PF₁，PF₂，F(xiàn)₁M，F(xiàn)₂N，運(yùn)用勾股定理和雙曲線(xiàn)的定義，結(jié)合三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，距離之和取得最小值，計(jì)算即可得到所求值．

解答 解：圓C₁：（x+4）²+y²=4的圓心為（-4，0），半徑為r₁=2；
圓C₂：（x-4）²+y²=1的圓心為（4，0），半徑為r₂=1，
設(shè)雙曲線(xiàn)${x^2}-\frac{y^2}{15}=1$的左右焦點(diǎn)為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），
連接PF₁，PF₂，F(xiàn)₁M，F(xiàn)₂N，可得|PF₁|-|PF₂|=2是定值，|PM|=|PF₁|+r₁，
|PN|=（|PF₂|-r₂），所以|PM|-|PN|的最大值2a+r₁+r₂=5，
|PM|=|PF₁|-r₁，
|PN|=（|PF₂|+r₂），所以|PM|-|PN|的最小值：2a-r₁-r₂=-1．
可得m=5，n=-1，則|m-n|=6．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查最值的求法，注意運(yùn)用雙曲線(xiàn)的定義和圓的方程，考查三點(diǎn)共線(xiàn)的性質(zhì)，以及運(yùn)算能力，屬于中檔題．