Question

9．某同學(xué)參加高校自主招生3門課程的考試．假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率$\frac{4}{5}$，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率分別為p，q（p＜q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績(jī)相互獨(dú)立．記ξ為該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程數(shù)，其分布列為

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{6}{125}$	x	y	$\frac{24}{125}$

（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求該生取得優(yōu)秀成績(jī)課程門數(shù)的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）用A_i表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績(jī)”，i=1，2，3．由題意得P（A₁）=$\frac{4}{5}$，P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=$\frac{6}{125}$，由此能求出該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率．從而能夠求出p，q的值．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出其概率，由此能夠求出數(shù)學(xué)期望Eξ．

解答 解：用A_i表示“該生第i門課程取得優(yōu)秀成績(jī)”，i=1，2，3．
由題意得得P（A₁）=$\frac{4}{5}$，P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=$\frac{6}{125}$，
（Ⅰ）該生至少有一門課程取得優(yōu)秀成績(jī)的概率為P=1-P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=1-$\frac{6}{125}$=$\frac{119}{125}$
P（$\overline{{A}_{1}}\overline{{A}_{2}}\overline{{A}_{3}}$）=（1-P（A₁））（1-P（A₂））（1-P（A3））=$\frac{1}{5}$（1-p）（1-q）=$\frac{6}{125}$
及P（A₁A₂A₃）=P（A₁）P（A₂）P（A₃）=$\frac{4}{5}$pq=$\frac{24}{125}$得p=$\frac{2}{5}$，q=$\frac{3}{5}$．
（Ⅱ）由題設(shè)知ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，
P（ξ=1）=$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{37}{125}$，P（ξ=2）=$\frac{4}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{2}{5}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{5}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{5}$=$\frac{58}{125}$，

ξ	0	1	2	3
pi	$\frac{6}{125}$	$\frac{37}{125}$	$\frac{58}{125}$	$\frac{24}{125}$

∴E（ξ）=0×$\frac{6}{125}$+1×$\frac{37}{125}$+2×$\frac{58}{125}$+3×$\frac{24}{125}$=$\frac{9}{5}$．
∴該生取得優(yōu)秀成績(jī)的課程門數(shù)的期望為$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散隨機(jī)變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望，是歷年高考的必考題型之一．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)和概率知識(shí)的靈活運(yùn)用．