Question

10．已知向量$\overrightarrow m=（2sin（ωx+\frac{π}{3}），1）\;，\overrightarrow{\;n}=（2cosωx，-\sqrt{3}）\;（ω＞0）$，函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的兩條相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）當$α∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$時，若f（α）=$\frac{6}{5}$，求cos2α的值．

Answer 1

分析 （1）利用數(shù)量積運算性質(zhì)、和差公式、倍角公式可得：函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=2$sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，根據(jù)f（x）的兩條相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，可得T=π，于是$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1．因此f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）由f（α）=$\frac{6}{5}$，可得$sin（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{3}{5}$．由$α∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$，可得$（2α+\frac{π}{3}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，$cos（2α+\frac{π}{3}）$=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$．利用cos2α=$cos（2α+\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$即可得出．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\overrightarrow m•\overrightarrow n$=$2sin（ωx+\frac{π}{3}）$•2cosωx-$\sqrt{3}$=4cosωx$（\frac{1}{2}sinωx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosωx）$-$\sqrt{3}$=sin2ωx+$\sqrt{3}$（2cos²ωx-1）
=sin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=2$sin（2ωx+\frac{π}{3}）$，
∴f（x）的兩條相鄰對稱軸間的距離為$\frac{π}{2}$，
∴T=π，
∴$\frac{2π}{2ω}$=π，解得ω=1．
∴f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{3}）$，
由$2kπ-\frac{π}{2}$≤$2x+\frac{π}{3}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
解得$kπ-\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，（k∈Z）．
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[$kπ-\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，（k∈Z）．
（2）由f（α）=$\frac{6}{5}$，
∴$2sin（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{6}{5}$，
∴$sin（2α+\frac{π}{3}）$=$\frac{3}{5}$．
∵$α∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$，∴$（2α+\frac{π}{3}）$∈$[\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}]$，
∴$cos（2α+\frac{π}{3}）$=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（2α+\frac{π}{3}）}$=-$\frac{4}{5}$．
∴cos2α=$cos（2α+\frac{π}{3}-\frac{π}{3}）$=$cos（2α+\frac{π}{3}）cos\frac{π}{3}$+$sin（2α+\frac{π}{3}）$$sin\frac{π}{3}$
=$-\frac{4}{5}×\frac{1}{2}+\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$
=$\frac{3\sqrt{3}-4}{10}$．

點評 本題考查了數(shù)量積運算性質(zhì)、和差公式、倍角公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關系式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．