Question

1．求證：正三棱柱三個側面的三條兩兩異面的對角線中，只要有一對互相垂直，另兩對也互相垂直．

Answer 1

分析 如圖所示，設A₁C⊥BC₁，建立如圖所示的坐標系，正三棱柱底面邊長與高分別為2a、b，證明數(shù)量積為0，即可證明結論．

解答 證明：如圖所示，設A₁C⊥BC₁，建立如圖所示的坐標系，正三棱柱底面邊長與高分別為2a、b，則A₁（2a，0，b），C（0，0，0），B（a，$\sqrt{3}$a，0），C₁（0，0，b），A（2a，0，0），B₁（a，$\sqrt{3}$a，b），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2a，0，-b），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-a，-$\sqrt{3}$a，b），
∵A₁C⊥BC₁，∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=2a²-b²=0，
∵$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-a，$\sqrt{3}$a，b），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}C}$•$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=2a²-b²=0，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$•$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=-2a²+b²=0，
∴A₁C⊥AB₁，AB₁⊥BC₁．

點評 本題考查線線垂直，考查向量知識的運用，正確建立坐標系，求向量是關鍵．