Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率為

2

2

，其左右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，點P（x₀，y₀）是圓x²+y²=

7

4

上一點，且

PF1

•

PF2

=

3

4

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)不垂直x軸的直N線l：y=kx+m與橢圓C交于M，N兩點，直線F₂M與F₂N傾斜角分別為α，β，且α+β=π．證明直線l過定點，并求出定點坐標(biāo)．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,證明題,平面向量及應(yīng)用,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），由P在圓上，代入圓的方程，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，解方程得到c=1，再由離心率公式解得a，再由a，b，c的關(guān)系得到b，進而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線MN方程為y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立消去y，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），根據(jù)韋達定理可表示出x₁+x₂和x₁x₂，表示出直線F₂M和F₂N的斜率，由α+β=π可推斷兩直線斜率之和為0，把x₁+x₂和x₁x₂代入即可求得k和m的關(guān)系，代入直線方程進而可求得直線過定點．

解答： （1）解：橢圓C的左、右焦點分別為F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0）
點P（x₀，y₀）是圓x²+y²=

7

4

上一點，則x₀²+y₀²=

7

4

，
又

PF1

•

PF2

=

3

4

，則（-c-x₀）•（c-x₀）+（-y₀）•（-y₀）=

3

4

，
即為x₀²+y₀²-c²=

3

4

，則c²=1，解得c=1，
由橢圓C的離心率e=

2

2

，得

c

a

=

2

2

，其中c=

a2-b2

，
可得a²=2，b²=1，
則橢圓方程為

x2

2

+y²=1；
（2）證明：由

y=kx+m x2+2y2=2

，消去y，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-2=0．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則△=（4km）²-4（2k²+1）（2m²-2）≥0，即2k²-m²+1≥0
則x₁+x₂=-

4km

2k2+1

，x₁x₂=

2m2-2

2k2+1

且kF2M=

kx1+m

x1-1

，kF2N=

kx2+m

x2-1

，
由已知α+β=π，得kF2M+kF2N=0即

kx1+m

x1-1

+

kx2+m

x2-1

=0
化簡，得2kx₁x₂+（m-k）（x₁+x₂）-2m=0
∴2k•

2m2-2

2k2+1

+（m-k）•（-

4km

2k2+1

）-2m=0，
整理得m=-2k．
∴直線MN的方程為y=k（x-2），
因此直線MN過定點，該定點的坐標(biāo)為（2，0）．

點評：本題主要考查了橢圓的方程和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理，考查了學(xué)生對問題的綜合分析和基本的運算能力，屬于中檔題．