Question

12．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且存在常數(shù)a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1+f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
（1）在我們學(xué)過(guò)的函數(shù)中，寫(xiě)出f（x）的一個(gè)函數(shù)解析式，并說(shuō)明其符合題設(shè)條件；
（2）若存在正常數(shù)T使得等式f（x-T）=f（x）對(duì)于x∈D都成立，則稱f（x）是周期函數(shù)，T為周期；試問(wèn)f（x）是不是周期函數(shù)？若是，則求出它的一個(gè)周期T；若不是，則說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）對(duì)照條件，由正切函數(shù)和兩角差的正切公式，可得f（x）tanx；
（2）f（x）為周期為4a的函數(shù)．可令x₁=x，x₂=a，將x換為x-a，再將x換為x-2a，可得f（x-4a）=f（x），即可得到所求周期．

解答 解：（1）由f（a）=1，又f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1+f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
滿足兩角差的正切公式，可得f（x）為正切函數(shù)，
則y=tanx，
當(dāng)a=$\frac{π}{4}$時(shí)，f（a）=1，符合題意．
即有f（x）=tanx；
（2）f（x）為周期為4a的函數(shù)．
由f（a）=1，又f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1+f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
可令x₁=x，x₂=a，即有f（x-a）=$\frac{f（x）-f（a）}{1+f（x）f（a）}$=$\frac{f（x）-1}{1+f（x）}$，
將x換為x-a，可得f（x-2a）=$\frac{f（x-a）-1}{1+f（x-a）}$
=$\frac{\frac{f（x）-1}{1+f（x）}-1}{1+\frac{f（x）-1}{1+f（x）}}$=-$\frac{1}{f（x）}$，
再將x換為x-2a，可得f（x-4a）=-$\frac{1}{f（x-2a）}$=f（x），
對(duì)照定義，可得f（x）為周期函數(shù)，且最小正周期為T(mén)=4a．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)用，主要考查周期性和周期的求法，注意運(yùn)用賦值法，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．