Question

7．專家由圓x²+y²=a²的面積S=πa²通過類比推理猜想橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的面積S=πab，之后利用演繹推理證明了這個(gè)公式是對(duì)的！在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集A={（x，y）|$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²≤1}，點(diǎn)集B={（x，y）|-3＜x＜3，-1＜y＜5}，則點(diǎn)集M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}所表示的區(qū)域的面積為36+2π．

Answer 1

分析 由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+$y₁²≤1，x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，得$\frac{（x-{x}_{2}）^{2}}{4}$+（y-y₂）²≤1，又-3＜x₂＜3，-1＜y₂＜5，所以點(diǎn)（x，y）表示以集合B為中心的橢圓圓面，由此能求出所求區(qū)域的面積．

解答 解：由$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+$y₁²≤1，x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，
得$\frac{（x-{x}_{2}）^{2}}{4}$+（y-y₂）²≤1，
又-3＜x₂＜3，-1＜y₂＜5，
所以點(diǎn)（x，y）表示以集合B為中心的橢圓圓面．其面積為矩形面積加上1個(gè)橢圓的面積，即36+2π．
故答案為：36+2π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查類比推理，考查面積的計(jì)算，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．