如圖，正方形ACDE與等腰直角△ACB所在的平面互相垂直，且AC=BC=2，∠ACB=90°，F(xiàn)、G分別是線段AE、BC的中點．求AD與GF所成的角的余弦值．
考點：異面直線及其所成的角
專題：空間角,空間向量及應用
分析：根據(jù)題意，建立空間直角坐標系，可得向量
AD
=（0，-2，2），
GF
=（-1，2，1），利用空間向量的夾角公式加以計算，即可得到異面直線AD與FG所成的角的余弦值．
解答： 解，分別以CB、CA、CD所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，…2分
可得A（0，2，0），D（0，0，2），G（1，0，0），F(xiàn)（0，2，1）…4分
∴
AD
=（0，-2，2），
GF
=（-1，2，1）…6分
|
AD
|=2
2
…8分
|
GF
|=
6
…10分
AD
•
GF
=-2，COS＜
AD
，
GF
＞=
AD
•
GF
|
AD
||
GF
|
=-
3
6
…12分
點評：本題給出正方形所在平面與直角三角形所在平面互相垂直，求面直線AD與FG所成的角的余弦值．著重考查了面面垂直的性質(zhì)和利用空間向量研究異面直線所成角大小等知識，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=alnx+
a+1
2
x2+1，
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當-1＜a＜0時，不等式f（x）＞1+
a
2
ln（-a）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知集合A={x|-1≤x≤a，a＞1且a∈R}，B={y|y=2x-1，x∈A}，C={z|z=x2，x∈A}，是否存在a的值，使C⊆B？若存在，求出a的取值范圍．若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在側(cè)棱與底面垂直的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥BC，且A1A=AB=BC=1，CD=2．
（1）求證：AB1⊥平面A1BC；
（2）在線段CD上是否存在點N，使得D1N∥平面A1BC？若存在，求出此時三棱錐N-AA1C的體積；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知x，y，z∈R，且x+2y+3z+8=0．求證：（x-1）2+（y+2）2+（z-3）2≥14．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2
2
的正方形，其他四個側(cè)面是側(cè)棱長為
5
的等腰三角形，過棱PD的中點E作截面EFGH，使截面EFGH∥平面PBC，且截面EFGH分別交四棱錐各棱F、G、H．
（Ⅰ）證明：EF∥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a1=
9
2
，其前n項和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項均為正數(shù)，b1=1，比為q，且S2+b3=21，S2-b3=q
（Ⅰ）求通項公式an與bn；
（Ⅱ）設數(shù)列{cn}滿足cn•Sn=1，求{cn}的前n項和Tn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足：an+2an-an+1=tn（t-1），a1=1，a2=t（t＞1，t為常數(shù)）
（1）求a3；
（2）求證：an+1＞an≥1；
（3）求證：{an}滿足an+2-2tan+1+tan=0．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓C：
x2
4
+
y2
3
=1，直線l的方程為x=4，過右焦點F的直線l′與橢圓交于異于左頂點A的P，Q兩點，直線AP，AQ交直線l分別于點M，N．
（Ⅰ）當
AP
•
AQ
=
9
2
時，求此時直線l′的方程；
（Ⅱ）試問M，N兩點的縱坐標之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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