Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

a+1

2

x²+1，
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，不等式f（x）＞1+

a

2

ln（-a）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分別討論①a+1≤0，②-1＜a＜0時(shí)③a≥0時(shí)的情況，（Ⅱ）（Ⅰ）得：當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，f（x）在x=

-a a+1

處取到最小值，只需f（x）_min＞1+

a

2

ln（-a），解出即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=

(a+1)x2+a

x

，x∈（0，+∞），
①a+1≤0，即a≤-1時(shí)，f′（x）＜0成立，
∴f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
②-1＜a＜0時(shí)，
令f′（x）＞0，解得：x＞

-a a+1

，x＜-

-a a+1

（舍），
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜

-a a+1

，
∴f（x）在（

-a a+1

，+∞）遞增，在（0，

-a a+1

）遞減，
③a≥0時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，
f（x）在x=

-a a+1

處取到最小值，
即：f（x）min=f（

-a a+1

），
要使不等式f（x）＞1+

a

2

ln（-a）恒成立，
只需f（x）_min＞1+

a

2

ln（-a），
即：aln

-a a+1

+

a+1

2

•

-a

a+1

+1＞1+

a

2

ln（-a），
解得：a＞

1

e

-1，
又∵-1＜a＜0，
∴

1

e

-1＜a＜0．

點(diǎn)評(píng)：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問(wèn)題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．