Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若存在x∈R，使f（x）＞|2a-4|，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去絕對(duì)值，對(duì)x分類(lèi)討論，分別求解，最后求并集即可；
（Ⅱ）存在x∈R，使f（x）＞|2a-4|，相當(dāng)于只需f（x）的最大值大于|2a-4|，求出f（x）的最大值，解絕對(duì)值不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)x≤-1時(shí)，
f（x）=-4，
當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，
f（x）=2x-2，
當(dāng)x≥3時(shí)，
f（x）=4，
∴當(dāng)x≥3時(shí)f（x）≥1恒成立，
當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，2x-2≥1，
∴x≥$\frac{3}{2}$，
∴f（x）≥1的解集為[$\frac{3}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）由上可知f（x）的最大值為4，
∴4＞|2a-4|，
∴0＜a＜4，
故a的范圍為（0，4）．

點(diǎn)評(píng) 考查了絕對(duì)值函數(shù)的求解和恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題型，應(yīng)熟練掌握．