Question

3．在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=2AB=2，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E為PD的中點，在平面PCD內(nèi)作EF⊥PC于點F．
（1）求證：F為PC的中點；
（2）求點F到平面ACE的距離．

Answer 1

分析 （1）由直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)，可得EF∥CD，證明E為PD的中點，即可證明F為PC的中點；
（2）利用等體積法，可得點F到平面ACE的距離．

解答 證明：（1）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵∠ACD=90°，
∴AC⊥CD，
∵PA∩AC=A，
∴CD⊥平面PAC，
∴CD⊥PC，
∵EF⊥PC，EF?平面PCD，CD?平面PCD，
∴EF∥CD，
∵E為PD的中點，
∴F為PC的中點；
解：（2）連接AF，
∵CD⊥平面PAC，EF∥CD，
∴EF⊥平面PAC．即EF為三棱錐E-AFC的高
∵CD=2$\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{3}$，
從而V_E-FAC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（\frac{1}{2}×2×2）×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
在Rt△PAD中，AE=CE=$\frac{1}{2}$PD=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{5}$
于是S_△AEC=$\frac{1}{2}AC•\sqrt{5-1}$=2，
設(shè)F到平面AEC的距離為h
由V_E-FAC=V_F-AEC即$\frac{1}{3}×2h=\frac{\sqrt{3}}{3}$，∴h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故F到平面AEC的距離為$\frac{\sqrt{3}}{2}$------------（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判斷與性質(zhì)，點到平面的距離的距離的求法，等體積方法的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．