Question

已知下列四個命題：
①若一個球的半徑縮小到原來的

1

2

，則其體積縮小到原來的

1

8

；
②若兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等，則它們的標(biāo)準(zhǔn)差也相等；
③直線x-y+1=0與圓x²+y²=

1

2

相切；
④設(shè)a∈R，若函數(shù)y=e^x+ax有大于零的極值點(diǎn)，則a＜-1．
其中真命題的個數(shù)的序號是：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：簡易邏輯

分析：對于①，利用球的體積公式計算一下即可；
對于②，舉個反例容易說明該命題為假；
對于③，計算圓心到直線的距離，然后看是否等于半徑即可；
對于④，求出該函數(shù)的極值點(diǎn)，讓其大于0，解出a的范圍．

解答： 解：對于①，令r=a，則V=

4

3

πa³，當(dāng)r=

1

2

a時，V=

4

3

π×

1

8

a3，故體積是原來的

1

8

，故①正確；
對于②，一組數(shù)據(jù)為1，0，-1；另一組為2，0，-2，顯然第一組與第二組平均數(shù)相等，但方差；第一組為

2

3

，第二組為

8

3

，顯然不等，故②錯誤；
對于③，圓心為（0，0），r=

2

2

，所以圓心到直線的距離d=

1

2

=r，所以直線與圓相切，故③正確；
對于④，令y′=e^x+a=0，解得x₀=ln（-a），令x₀＞0得a＜-1，故④錯誤．
故答案為：①③．

點(diǎn)評：命題的真假判斷一般以考查概念、公式、基本方法的較多，要在準(zhǔn)確理解題意的基礎(chǔ)上解題．