Question

下列命題中真命題的是

 

．
①?x∈（-∞，0），使得2^x＜3^x成立；
②命題“am²＜bm²，則a＜b”的逆命題是真命題；
③若￢P是q的必要條件，則P是￢q的充分條件；
④?x∈（0，π），則sinx＞cosx．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專(zhuān)題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：①可以?xún)蛇呁�除�?^x，轉(zhuǎn)化為(

3

2

)x，再結(jié)合x(chóng)∈（-∞，0）判斷與1的大小關(guān)系；
②關(guān)注m的符號(hào)進(jìn)行判斷；
③前后互為逆否命題，據(jù)此判斷；
④舉個(gè)反例如x=

π

4

代入，則sinx=cosx，所以④錯(cuò)．

解答： 解：對(duì)于①，可以?xún)蛇呁�除�?^x，轉(zhuǎn)化為(

3

2

)x，因?yàn)?span id="dfpz7rr" class="MathJye">

3

2

＞1，所以當(dāng)x∈（-∞，0）時(shí)，0＜(

3

2

)x＜1，因此2^x＜3^x，x∈（-∞，0）時(shí)恒成立，故①錯(cuò)；
對(duì)于②，逆命題是：若a＜b，則am²＜bm²，當(dāng)m=0時(shí)，結(jié)論不成立，故②錯(cuò)；
對(duì)于③，因?yàn)椹VP是q的必要條件，即q⇒￢p，其逆否命題是p⇒￢q成立，故p是￢q的充分條件，故③正確；
對(duì)于④，當(dāng)x=

π

4

時(shí)，sinx=cosx，故④錯(cuò)誤．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng)：這道題考查了四種命題、全稱(chēng)命題及特稱(chēng)命題的真假判斷及充分必要性的判斷，要弄清條件和結(jié)論再解決問(wèn)題．