Question

3．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n=2a_n-1+6n+3（n≥2），求a_n．

Answer 1

分析 由已知條件結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè)a_n+λn+b=2[a_n-1+λ（n-1）+b），（n≥2），從而構(gòu)造出a_n+6n+15=2[a_n-1+6（n-1）+15]，（n≥2），進(jìn)而得到{a_n+6n+15}為等比數(shù)列，由此能求出a_n．

解答 解：∵a₁=1，a_n=2a_n-1+6n+3（n≥2），
∴a_n+λn+b=2[a_n-1+λ（n-1）+b]，（n≥2），
即a_n=2a_n-1+λn+b-2λ，（n≥2）
∵a_n=2a_n-1+6n+3（n≥2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ=6}\\{b-2λ=3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=6}\\{b=15}\end{array}\right.$，
∴a_n+6n+15=2[a_n-1+6（n-1）+15]，（n≥2），
∵a₁=1，∴a₁+6×1+15=22，
∴{a_n+6n+15}是首項(xiàng)為22，公比為2的等比數(shù)列，
∴${a}_{n}+6n+15=22×{2}^{n-1}=11×{2}^{n}$，
∴${a}_{n}=11×{2}^{n}-6n-15$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意等比數(shù)列的性質(zhì)和構(gòu)造法的合理運(yùn)用．