Question

5．定義運算x*y=$\left\{\begin{array}{l}{y（x≥y）}\\{x（x＜y）}\end{array}\right.$，則函數(shù)f（x）=（sin2x）*（cosx）的最大值為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． 1

Answer 1

分析 由題意可得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，sin2x≥cosx}\\{sin2x，sin2x＜cosx}\end{array}\right.$，分類討論分別求最大值比較可得．

解答 解：由題意可得f（x）=（sin2x）*（cosx）=$\left\{\begin{array}{l}{cosx，sin2x≥cosx}\\{sin2x，sin2x＜cosx}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)sin2x≥cosx即2sinxcosx≥cosx，即cosx（2sinx-1）≥0時，
可得$\left\{\begin{array}{l}{cosx≥0}\\{sinx-\frac{1}{2}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{cosx≤0}\\{sinx-\frac{1}{2}≤0}\end{array}\right.$，解得2kπ-$\frac{π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{π}{2}$或2kπ+$\frac{5π}{6}$≤x≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z
此時f（x）=cosx，最大值為1；
同理當(dāng)sin2x＜cosx時f（x）=cosx，最大值也為1．
故選：D．

點評 本題考查三角函數(shù)的最值，涉及新定義即分類討論的思想和解三角方程，屬中檔題．