Question

4．已知圓P：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）的圓心在直線y=x上，且與直線y=x+2相切與點(diǎn)B（0，2）（其中P（a，b）為圓心，O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求圓P的方程；
（2）點(diǎn)P在直線x-2y=0上的投影為A，求事件“向圓P內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn)，使這一點(diǎn)恰好在△POA內(nèi)”的概率．

Answer 1

分析 （1）利用圓的切線性質(zhì)得到a，b，r的方程組解之；
（2）根據(jù)垂徑定理，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式求出△POA的面積，利用幾何概型概率公式求之．

解答 解：（1）因?yàn)閳AP：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）的圓心在直線y=x上，且與直線y=x+2相切與點(diǎn)B（0，2），
所以$\left\{\begin{array}{l}{a=b}\\{（0-a）^{2}+（2-b）^{2}={r}^{2}}\\{\frac{|a-b+2|}{\sqrt{2}}=r}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=1}\\{r=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
所以圓P的方程：（x-1）²+（y-1）²=2；
（2）點(diǎn)P到直線x-2y=0的距離|PA|=$\frac{|1-2|}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∵PA⊥OA，∴|OA|=$\sqrt{{r}^{2}-P{A}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴S_△OAP=$\frac{1}{2}$|OA||PA|=$\frac{3}{10}$，
∴事件“在圓P內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn)，使這一點(diǎn)恰好在△POA內(nèi)”的概率P=$\frac{{S}_{△OAP}}{{S}_{圓P}}$=$\frac{\frac{3}{10}}{2π}=\frac{3}{20π}$．

點(diǎn)評(píng) 熟練掌握垂徑定理，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、幾何概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．