【題目】如圖，在正方體中，點(diǎn)是底面的中心，是線段的上一點(diǎn)。

（1）若為的中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值；

（2）能否存在點(diǎn)使得平面平面，若能，請指出點(diǎn)的位置關(guān)系，并加以證明；若不能，請說明理由。

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）建立空間坐標(biāo)系得到直線的方向向量和面的法向量，再由向量的夾角公式得到結(jié)果；（2）建立坐標(biāo)系得到兩個面的法向量，再由法向量互相垂直得到結(jié)果.

不妨設(shè)正方體的棱長為2，以，，分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，.

（1）因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以，，.

設(shè)是平面的法向量，則，

即.

取，則，所以平面的一個法向量為.

所以 .

所以直線與平面所成角的正弦值為.

（2）假設(shè)存在點(diǎn)使得平面平面，設(shè).

顯然，.

設(shè)是平面的法向量，則，即，

取，則，，所以平面的一個法向量為.

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.

所以，.

設(shè)是平面的法向量，則，即.

取，則，所以平面的一個法向量為.

因?yàn)槠矫?/span>平面，所以，即，，解得.

所以的值為2.即當(dāng)時，平面平面.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】下列說法中錯誤的是（ ）

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C. 若兩個隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1

D. 若一組數(shù)據(jù)1、、2、3的眾數(shù)是2，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是2

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（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)在什么位置時，平面與平面所成銳二面角最大，并求此時二面角的余弦值.

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【題目】天壇公園是明、清兩代皇帝“祭天”“祈谷”的場所．天壇公園中的圜丘臺共有三層（如圖1所示），上層壇的中心是一塊呈圓形的大理石板，從中心向外圍以扇面形石（如圖2所示）．上層壇從第一環(huán)至第九環(huán)共有九環(huán)，中層壇從第十環(huán)至第十八環(huán)共有九環(huán)，下層壇從第十九環(huán)至第二十七環(huán)共有九環(huán)；第一環(huán)的扇面形石有9塊，從第二環(huán)起，每環(huán)的扇面形石塊數(shù)比前一環(huán)多9塊，則第二十七環(huán)的扇面形石塊數(shù)是______；上、中、下三層壇所有的扇面形石塊數(shù)是_______．

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【題目】某家具廠有方木料90，五合板600，準(zhǔn)備加工成書桌和書櫥出售.已知生產(chǎn)第張書桌需要方木料O.l，五合板2，生產(chǎn)每個書櫥而要方木料0.2，五合板1，出售一張方桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.

（1）如果只安排生產(chǎn)書桌，可獲利潤多少？

（2）怎樣安排生產(chǎn)可使所得利潤最大？

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【題目】已知圓與圓關(guān)于直線對稱.

（1）求圓的方程；

（2）過點(diǎn)作兩條相異直線分別與圓相交于、兩點(diǎn)，若直線、的傾斜角互補(bǔ)，問直線與直線是否垂直？請說明理由.

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【題目】已知函數(shù).

（1）設(shè)是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的值，并求的單調(diào)區(qū)間；

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【題目】已知曲線的方程為．

（1）當(dāng)時，試確定曲線的形狀及其焦點(diǎn)坐標(biāo)；

（2）若直線交曲線于點(diǎn)、，線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，試問此時曲線上是否存在不同的兩點(diǎn)、關(guān)于直線對稱？

（3）當(dāng)為大于1的常數(shù)時，設(shè)是曲線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作一條斜率為的直線，又設(shè)為原點(diǎn)到直線的距離，分別為點(diǎn)與曲線兩焦點(diǎn)的距離，求證是一個定值，并求出該定值．

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【題目】已知拋物線與軸交于點(diǎn),直線與拋物線交于點(diǎn)，兩點(diǎn)．直線,分別交橢圓于點(diǎn)、（,與不重合）

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(2)若,求直線的斜率的值；

(3)若為坐標(biāo)原點(diǎn),直線交橢圓于，，若,且,則是否為定值？若是,求出定值；若不是,請說明理由．

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