Question

18．已知函數(shù)f（x）=e^x（e=2.71828…），g（x）為其反函數(shù)．
（1）設(shè)點(diǎn)P（-1，0），求過(guò)點(diǎn)P且與曲線y=f（x）相切的直線方程；
（2）求函數(shù)$F（x）=\frac{x}{g（x）}$的單調(diào)區(qū)間及極值；并比較$\sqrt{2}ln\sqrt{3}$與$\sqrt{3}ln\sqrt{2}$的大�。�

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出切點(diǎn)，求得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，代入點(diǎn)（-1，0），解方程可得m，進(jìn)而得到切線的方程；
（2）求出F（x）的導(dǎo)數(shù)，令導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，求得極值；再由減區(qū)間，即可判斷兩數(shù)的大小．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=e^x，f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=e^x，
設(shè)切點(diǎn)為（m，e^m），即有切線的斜率為e^m=$\frac{{e}^{m}}{m+1}$，
可得m=0，切點(diǎn)為（0，1），斜率為1，
可得切線的方程為y=x+1；
（2）g（x）=lnx，
F（x）=$\frac{x}{lnx}$的導(dǎo)數(shù)為F′（x）=$\frac{lnx-1}{（lnx）^{2}}$，
當(dāng)x＞e時(shí)，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）遞減．
即有F（x）的增區(qū)間為（e，+∞），減區(qū)間為（0，e），
x=e處取得極小值，且為e；
由0＜$\sqrt{2}$＜$\sqrt{3}$＜e，可得$\frac{\sqrt{2}}{ln\sqrt{2}}$＞$\frac{\sqrt{3}}{ln\sqrt{3}}$，
即為$\sqrt{2}ln\sqrt{3}$＞$\sqrt{3}ln\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的方程和單調(diào)區(qū)間、極值，考查單調(diào)性的運(yùn)用：比較大小，屬于中檔題．