Question

7．給出下列四個命題：
①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)；
②在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-12，則|$\overrightarrow{AB}$|=4；
③“a=1”是“函數(shù)$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件；
④若命題p是：對任意的x∈R，都有sinx＜1，則?p為：存在x∈R，使得sinx＞1．
其中所有真命題的序號是①②③．

Answer 1

分析 ①根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的存在條件進(jìn)行判斷即可．
②根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算進(jìn)行判斷．
③根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義以及充分條件和必要條件進(jìn)行判斷．
④根據(jù)含有量詞的命題的否定進(jìn)行判斷即可．

解答 解：①函數(shù)f（x）=lnx-2+x在區(qū)間（1，e）上為增函數(shù)，
∵f（1）=ln1-2+1=-1＜0，f（e）=lne-2+e=e-1＞0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)；
②在△ABC中，已知$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=4，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=-12，
則$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{BC}$=16，
即$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{BC}$）=$\overrightarrow{AB}$•（$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CA}$）=$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AB}$=16，
|$\overrightarrow{AB}$|=4；故②正確，
③若“函數(shù)$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定義域上是奇函數(shù)”，
則$f（-x）=\frac{a-{e}^{-x}}{1+a{e}^{-x}}$=$\frac{a{e}^{x}-1}{{e}^{x}+a}$=$-f（x）=-\frac{a-{e}^{x}}{1+a{e}^{x}}$，即解得a=±1，故“a=1”是函數(shù)$f（x）=\frac{{a-{e^x}}}{{1+a{e^x}}}$在定義域上是奇函數(shù)的充分不必要條件正確；故③正確，
④若命題p是：對任意的x∈R，都有sinx＜1，則￢p為：存在x∈R，使得sinx≥1．故④錯誤，
故答案為：①②③．

點(diǎn)評 本題是命題的真假判斷為載體考查了函數(shù)的零點(diǎn)，奇函數(shù)的定義，函數(shù)圖象的平移，函數(shù)的對稱性，是函數(shù)與邏輯的綜合應(yīng)用．綜合性較強(qiáng)難度不大．