Question

14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上的一點(diǎn)A（2，4）．
（Ⅰ）是否存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B，C，并且|AB|=|AC|，若有，求此直線方程，若沒有，請說明理由；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)T（t，0）滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）假設(shè)存在直線l：y=kx+3，依題意可得則AM⊥BC，直線l的斜率為-$\frac{4}{3}$則直線l：y=-$\frac{4}{3}$x+3，即4x+3y-9=0
圓心M（6，7）到4x+3y-9=0的距離d=$\frac{4×6+3×7-9}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{36}{5}＞5$，即直線l與圓M無兩個(gè)交點(diǎn)，即可；
 （Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵A（2，4），T（t，0），
由$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$，于是（x-t-4）²+（y-3）²=25上，
從而圓（x-6）²+（y-7）²=25與圓（x-t-4）²+（y-3）²=25上有公共點(diǎn)，即可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）圓M：x²+y²-12x-14y+60=0化為（x-6）²+（y-7）²=25，圓心為M（6，7），半徑為5
假設(shè)存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B，C，并且|AB|=|AC|，
則AM⊥BC，∵k_AM=$\frac{7-4}{6-2}=\frac{3}{4}$，即直線l的斜率為-$\frac{4}{3}$
則直線l：y=-$\frac{4}{3}$x+3，即4x+3y-9=0
圓心M（6，7）到4x+3y-9=0的距離d=$\frac{4×6+3×7-9}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=\frac{36}{5}＞5$
即直線l與圓M無兩個(gè)交點(diǎn)，
∴不存在直線l：y=kx+3與圓M有兩個(gè)交點(diǎn)B，C，并且|AB|=|AC|；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵A（2，4），T（t，0），
由$\overrightarrow{TA}$$+\overrightarrow{TP}$=$\overrightarrow{TQ}$得，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$，由點(diǎn)Q在圓M上，所以（x₂-6）²+（y₂-7）²=25
即得（x₁-t-4）²+（y₁-3）²=25．
從而圓（x-6）²+（y-7）²=25與圓（x-t-4）²+（y-3）²=25上有公共點(diǎn)，
即5-5$≤\sqrt{[（t+4）-6]^{2}+（3-7）^{2}}≤5+5$
解得2-2$\sqrt{21}$≤t≤2+2$\sqrt{21}$，
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．

點(diǎn)評 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運(yùn)用．