Question

20．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（3-x），0＜x＜3\\（x-3）（a-x），x≥3\end{array}\right.$．
（1）求f（2）+f（4）的值；
（2）若y=f（x）在x∈[3，5]上單調(diào)增，在x∈[6，8]上單調(diào)減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[3，5]上的最大值為g（a），試求g（a）的表達(dá)式．

Answer 1

分析 （1）由分段函數(shù)，代入即可得到所求值；
（2）由二次函數(shù)的單調(diào)性，求得對(duì)稱軸，討論與區(qū)間的關(guān)系，即可得到所求范圍；
（3）分別研究二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間[3，5]的關(guān)系，由單調(diào)性即可得到所求的最大值．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x（3-x），0＜x＜3\\（x-3）（a-x），x≥3\end{array}\right.$．
可得f（2）+f（4）=2+a-4=a-2；
（2）當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）=（x-3）（a-x）
=-x²+（a+3）x-3a，對(duì)稱軸為x=$\frac{a+3}{2}$，
由f（x）在x∈[3，5]上單調(diào)增，在x∈[6，8]上單調(diào)減，
可得5≤$\frac{a+3}{2}$≤6，解得7≤a≤9，
則a∈[7，9]；
（3）①當(dāng)$\frac{a+3}{2}$≤3即a≤3時(shí)，f（x）在[3，5]上單調(diào)遞減，所以g（a）=f（3）=0；
②當(dāng)3＜$\frac{a+3}{2}$＜5即3＜a＜7時(shí)，f（x）在[3，$\frac{a+3}{2}$）遞增，（$\frac{a+3}{2}$，5]上單調(diào)遞減，
即有g(shù)（a）=f（$\frac{a+3}{2}$）=$\frac{（a-3）^{2}}{4}$；
③當(dāng)$\frac{a+3}{2}$≥5即a＞7時(shí)，f（x）在[3，5]上單調(diào)遞增，
所以g（a）=f（5）=2（a-5）．
綜上所述，$g（a）=\left\{\begin{array}{l}0，a≤3\\ \frac{{{{（a-3）}^2}}}{4}，3＜a＜7\\ 2（a-5），a≥7\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的運(yùn)用：求最值，綜合考查了分段函數(shù)求值域的問題，特別對(duì)于二次函數(shù)求值域時(shí)要分類討論的思想．