Question

14．祖暅，字景爍，祖沖之之子，南北朝時代的偉大科學(xué)家．祖暅在數(shù)學(xué)上有突出的貢獻，他在實踐的基礎(chǔ)上，于5世紀末提出下面的計算原理：祖暅原理：夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等，請同學(xué)們用祖暅原理解決如下問題：如圖，有一個倒圓錐形容器，它的軸截面是一個正三角形，在容器內(nèi)放一個半徑為r的鐵球，再注入水，使水面與球正好相切（而且球與倒圓錐相切效果很好，水不能流到倒圓錐容器底部），然后將球取出，則這時容器中水的深度為$\root{3}{15}$r．

Answer 1

分析 作出軸截面，根據(jù)切線性質(zhì)知當球在容器內(nèi)時，水的深度為3r，水面半徑BC的長為$\sqrt{3}$r，容器內(nèi)水的體積為V=V_圓錐-V_球，由此能求出結(jié)果．

解答 解：如圖所示，作出軸截面，因軸截面是正三角形，
根據(jù)切線性質(zhì)知當球在容器內(nèi)時，
水的深度為3r，水面半徑BC的長為$\sqrt{3}$r，
則容器內(nèi)水的體積為V=V_圓錐-V_球=$\frac{π}{3}$（$\sqrt{3}$r）²•3r-$\frac{4π}{3}$r³=$\frac{5π}{3}$r³，
將球取出后，設(shè)容器中水的深度為h，則水面圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}}{3}$h，
從而容器內(nèi)水的體積為V′=$\frac{π}{3}$（$\frac{\sqrt{3}}{3}$h）²h=$\frac{π}{9}$h³，
由V=V′，得h=$\root{3}{15}$r．
故答案為：$\root{3}{15}$r．

點評 本題考查容器中水的深度的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意球的性質(zhì)的合理運用．