Question

15．若對(duì)圓（x-1）²+（y-1）²=1上任意一點(diǎn)P（x，y），|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值與x，y無(wú)關(guān)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a≤-4
• B． -4≤a≤6
• C． a≤-4或a≥6
• D． a≥6

Answer 1

分析 由題意可得故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作點(diǎn)P到直線m：3x-4y+a=0與直線l：3x-4y-9=0距離之和的5倍，
，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式解得即可．

解答 解：設(shè)z=|3x-4y+a|+|3x-4y-9|=5（$\frac{|3x-4y+a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$+$\frac{|3x-4y-9|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$），
故|3x-4y+a|+|3x-4y-9|可以看作點(diǎn)P到直線m：3x-4y+a=0與直線l：3x-4y-9=0距離之和的5倍，
∵取值與x，y無(wú)關(guān)，
∴這個(gè)距離之和與P無(wú)關(guān)，
如圖所示：可知直線m平移時(shí)，P點(diǎn)與直線m，l的距離之和均為m，l的距離，即此時(shí)與x，y的值無(wú)關(guān)，
當(dāng)直線m與圓相切時(shí)，$\frac{|3x-4y+a|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
化簡(jiǎn)得|a-1|=5，
解得a=6或a=-4（舍去），
∴a≥6
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，以及點(diǎn)到直線的距離公式，屬于中檔題