Question

14．已知曲線C的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=sinθ}\\{y=co{s}^{2}θ}\end{array}\right.$（0≤θ＜2π）．M是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，N（0，-1），則MN的最小值為$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 M（sinθ，cos²θ），代入兩點(diǎn)間的距離公式得出|MN|關(guān)于θ的函數(shù)，根據(jù)cosθ的取值范圍得出|MN|的最小值．

解答 解：∵M(jìn)是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，∴M（sinθ，cos²θ）．
|MN|²=sin²θ+（cos²θ+1）²=cos⁴θ+2cos²θ+sin²θ+1=cos⁴θ+cos²θ+2=（cos²θ+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{7}{4}$．
∵0≤cos²θ≤1，
∴當(dāng)cos²θ=0時(shí)，|MN|²取得最小值2．
∴|MN|的最小值為$\sqrt{2}$．
故答案為：$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了參數(shù)方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)間的距離公式，屬于基礎(chǔ)題．