Question

【題目】在中，，，有下述四個(gè)結(jié)論：

①若為的重心，則

②若為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，則為定值2

③若，為邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，則的最小值為

④已知為內(nèi)一點(diǎn)，若，且，則的最大值為2

其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.①③B.①④C.②③D.②④

Answer 1

【答案】A

【解析】

根據(jù)題意，先得為等腰直角三角形；①取中點(diǎn)為，連接，得到，根據(jù)平面向量基本定理，即可得出結(jié)果；②先由①得到，由題意得到在上的投影為，進(jìn)而可求出向量數(shù)量積；③以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在直線為軸、軸，建立平面直角坐標(biāo)系，由題意，設(shè)，且，不妨令，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可求出結(jié)果；④同③建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)題意，得到，再設(shè)，由題意，得到，，用表示出，即可求出結(jié)果；

因?yàn)樵?/span>中，，； 所以為等腰直角三角形；

①如圖1，取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?/span>為的重心，

所以在上，且，

所以，故①正確；

②如圖1，同①，因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，為等腰直角三角形，所以，

若為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，則在上的投影為，

因此，故②錯(cuò)；

③如圖2，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、所在直線為軸、軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，易得，所在直線方程為：；

因?yàn)?/span>，為邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，

所以設(shè)，，且，不妨令，

因?yàn)?/span>，所以，即，則，

所以

，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立；故③正確；

④同③建立如圖3所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，

設(shè)，則，

又，所以，即

因?yàn)?/span>為內(nèi)一點(diǎn)，且，設(shè)，

則，且，，

因此，

因?yàn)?/span>，所以，所以無最值，即無最值，故④錯(cuò).

故選：A.