Question

13．已知f（x）=mx-alnx-m，g（x）=$\frac{ex}{e^x}$（e=2.71828…），其中m，a均為實(shí)數(shù)．
（1）求g（x）的極值；
（2）設(shè)a=2，若對(duì)?給定的x₀∈（0，e]，在區(qū)間（0，e]上總存在t₁，t₂（t₁≠t₂）使得f（t₁）=f（t₂）=g（x₀）成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值．
（2）由（1）得g（x）的最大值，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，判斷m≤0，不滿足題意；當(dāng)m＞0時(shí)，要?t₁，t₂使得f（t₁）=f（t₂），f（x）的極值點(diǎn)必在區(qū)間（0，e）內(nèi)，求出m的范圍，當(dāng)m＞$\frac{2}{e}$，利用g（x）在（0，e）上的值域f（x）在$（{0，\frac{2}{m}}）和（{\frac{2}{m}，e}）$上的值域，推出關(guān)系式，即可求出m的范圍．

解答 解：（1）∵g（x）=$\frac{ex}{e^x}$，
∴g′（x）=$\frac{-e（x-1）}{e^x}$，
當(dāng)g′（x）＞0時(shí)，解得x＜1，當(dāng)g′（x）＜0時(shí)，解得x＞1，
∴g（x）在（-∞，1）單調(diào)遞增，在（1，+∞）單調(diào)遞減，
∴g（x）極大值g（1）=1，無極小值；
（2）由（1）得g（x）在（0，1）單調(diào)遞增，在（1，e]單調(diào)遞減，g（x）_max=g（1）=1
所以，g（x）∈（0，1]，
又f′（x）=m-$\frac{2}{x}$，
當(dāng)m≤0時(shí)f′（x）＜0，f（x）在（0，e]上單調(diào)遞減，不符合題意．
當(dāng)m＞0時(shí)，要?t₁，t₂使得f（t₁）=f（t₂），
那么由題意知f（x）的極值點(diǎn)必在區(qū)間（0，e）內(nèi)，即0＜$\frac{2}{m}$＜e
得m＞$\frac{2}{e}$，且函數(shù)f（x）在（0，$\frac{2}{m}$）上單調(diào)遞減，在（$\frac{2}{m}$，e]上單調(diào)遞增，
由題意得g（x）在（0，e）上的值域包含于f（x）在$（{0，\frac{2}{m}}）和（{\frac{2}{m}，e}）$上的值域，
∴$（{\frac{2}{m}，e}）$內(nèi)，$\left\{{\begin{array}{l}{f（\frac{2}{m}）≤0}\\{f（e）≥1}\end{array}}\right.⇒m≥\frac{3}{e-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷與應(yīng)用，新函數(shù)以及構(gòu)造法的應(yīng)用，考查綜合分析問題解決問題的能力．