【題目】xy,z為非零實數(shù),滿足xy+yz+zx=1,證明:.

【答案】不等式的證明一般可以考慮運用作差法或者是利用分析法來證明。

【解析】

試題為使所證式有意義,三數(shù)中至多有一個為0;據(jù)對稱性,不妨設,則;

、當時,條件式成為,,而

,

只要證,,即,也即,此為顯然;取等號當且僅當

、再證,對所有滿足的非負實數(shù),皆有

.顯然,三數(shù)中至多有一個為0,據(jù)對稱性,

仍設,則,令為銳角,以為內(nèi)角,構(gòu)作,則 ,于是,且由知,;于是,即是一個非鈍角三角形.

下面采用調(diào)整法,對于任一個以為最大角的非鈍角三角形,固定最大角,將調(diào)整為以為頂角的等腰,其中,且設,記,據(jù)知,

.今證明,.即

……①

即要證……②

先證……③,即證

,此即,也即

,即,此為顯然.

由于在中,,則;而在中,

,因此式成為

……④,

只要證,……⑤,即證,注意式以及

,只要證,即,也即…⑥

由于最大角滿足:,而,則,所以

,故成立,因此得證,由成立,從而成立,即,因此本題得證.

練習冊系列答案
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