Question

13．已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+x（a，b∈R），且f（1）=0，f'（1）=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（Ⅱ）根據(jù)合適的單調(diào)性求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=ax³+bx²+x，得：f′（x）=3ax²+2bx+1，
又f（1）=0，f′（1）=0，解得：a=1，b=-2，
所以f（x）=x³-2x²+x，
f′（x）=3x²-4x+1=（x-1）（3x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜$\frac{1}{3}$，
令f′（x）＜0，解得：$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）遞增，在（$\frac{1}{3}$，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f（x），f′（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，$\frac{1}{3}$）	$\frac{1}{3}$	（$\frac{1}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞增	極大值$\frac{4}{27}$	單調(diào)遞減	極小值0	單調(diào)遞增

∴x=$\frac{1}{3}$時(shí)，f（x）有極大值，且極大值為f（$\frac{1}{3}$）=$\frac{4}{27}$，
當(dāng)x=1，f（x）有極小值，且極小值為f（1）=0．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道基礎(chǔ)題．