3.如圖所示,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,PA=2.
(Ⅰ)證明:平面PBE⊥平面PAB;
(Ⅱ)求二面角B-PE-D的余弦值.

分析 (Ⅰ)連結(jié)BD,推導(dǎo)出BE⊥AB,PA⊥BE,從而BE⊥平面PAB,由此能證明平面PBE⊥平面PAB.
(Ⅱ)以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸,過點(diǎn)E垂直于平面ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B-PE-D的余弦值.

解答 證明:(Ⅰ)連結(jié)BD,
∵四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形,∠BCD=60°,
E是CD的中點(diǎn),PA⊥底面ABCD,
∴BE⊥AB,PA⊥BE,
∵AB∩PA=A,∴BE⊥平面PAB,
∵BE?平面PBE,∴平面PBE⊥平面PAB.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知BE⊥CD,又PA⊥底面ABCD,
以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn),EB所在直線為x軸,EC所在直線為y軸,
過點(diǎn)E垂直于平面ABCD的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
則E(0,0,0),B($\frac{\sqrt{3}}{2}$,0,0),D(0,-$\frac{1}{2}$,0),A($\frac{\sqrt{3}}{2}$,-1,2),
$\overrightarrow{PB}$=(0,1,2),$\overrightarrow{EB}$=($\frac{\sqrt{3}}{2}$,0,0),$\overrightarrow{ED}$=(0,-$\frac{1}{2}$,0),$\overrightarrow{EP}$=($\frac{\sqrt{3}}{2}$,-1,2),
設(shè)平面BPE的法向量$\overrightarrow{n}$=(x,y,z),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=y+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EB}=\frac{\sqrt{3}}{2}x=0}\end{array}\right.$,取y=2,得$\overrightarrow{n}$=(0,2,-1),
設(shè)平面DPE的法向量$\overrightarrow{m}$=(a,b,c),
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{ED}=-\frac{1}{2}b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{EP}=\frac{\sqrt{3}}{2}a-b+2c=0}\end{array}\right.$,取a=2$\sqrt{3}$,得$\overrightarrow{m}$=(2$\sqrt{3}$,0,-$\frac{3}{2}$),
設(shè)二面角B-PE-D的平面角為θ,
cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\sqrt{5}•\sqrt{\frac{57}{4}}}$=$\frac{3\sqrt{285}}{285}$.
∴二面角B-PE-D的余弦值為$\frac{3\sqrt{285}}{285}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直行的證明,考查二面角的余弦值的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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