Question

【題目】已知一四棱錐P﹣ABCD的三視圖如圖所示，E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn)．
（Ⅰ）求四棱錐P﹣ABCD的體積．
（Ⅱ）若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn)，AC∩BD=O，求證：EO∥平面PAD；
（Ⅲ）是否不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE？證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解：由該四棱錐的三視圖可知，該四棱錐P﹣ABCD的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，

側(cè)棱PC⊥底面ABCD，且PC=2．

∴VP﹣ABCD= SABCDPC= ．

（Ⅱ）證明：∵E、O分別為PC、BD中點(diǎn)

∴EO∥PA，

又EO平面PAD，PA平面PAD．

∴EO∥平面PAD．

（Ⅲ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE，

證明如下：∵ABCD是正方形，

∴BD⊥AC，

∵PC⊥底面ABCD且BD平面ABCD，

∴BD⊥PC，

又∵AC∩PC=C，

∴BD⊥平面PAC，

∵不論點(diǎn)E在何位置，都有AE平面PAC，

∴不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE．

【解析】（Ⅰ）四棱錐的底面是一個(gè)邊長(zhǎng)是1的正方形，一條側(cè)棱與底面垂直，由這條側(cè)棱長(zhǎng)是2知四棱錐的高是2，求四棱錐的體積只要知道底面大小和高，就可以得到結(jié)果．（Ⅱ）利用三角形中位線的性質(zhì)證明OE∥PA，由線面平行的判定定理可證EO∥平面PAD；（Ⅲ）不論點(diǎn)E在何位置，都有BD⊥AE，證明BD⊥平面PAC即可．