Question

17．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy上，點A（1，0），點B在單位圓上，∠AOB=θ（0＜θ＜π）．
（1）若點B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求tan（θ+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=$\frac{18}{13}$，求cos（$\frac{π}{3}$-θ）．

Answer 1

分析 （1）利用三角函數(shù)的定義及其和差公式即可得出；
（2）利用向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式即可得出．

解答 解：（1）由點B（-$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），∴sinθ=$\frac{4}{5}$，$cosθ=-\frac{3}{5}$，tanθ=-$\frac{4}{3}$．
∴tan（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanθ+tan\frac{π}{4}}{1-tanθ•tan\frac{π}{4}}$=$\frac{-\frac{4}{3}+1}{1+\frac{4}{3}}$=-$\frac{1}{7}$；
（2）∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OC}$，
∴$\overrightarrow{OC}$=（1+cosθ，sinθ）．
$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}$=$\frac{18}{13}$，
∴（cosθ，sinθ）•（1+cosθ，sinθ）=cosθ+cos²θ+sin²θ=cosθ+1=$\frac{18}{13}$，
解得cosθ=$\frac{5}{13}$，∵0＜θ＜π，∴$sinθ=\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{12}{13}$．
∴cos（$\frac{π}{3}$-θ）=$cos\frac{π}{3}cosθ+sin\frac{π}{3}sinθ$=$\frac{1}{2}×\frac{5}{13}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{12}{13}$=$\frac{5+12\sqrt{3}}{26}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的定義、向量的坐標(biāo)運算、數(shù)量積運算性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．