Question

9．雙曲線4x²-2y²=1的右焦點(diǎn)為F，以O(shè)F為直徑的圓與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)P，則|PF|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，利用方程組法求出交點(diǎn)坐標(biāo)進(jìn)行求解即可．

解答 解：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{\frac{1}{4}}-\frac{{y}^{2}}{\frac{1}{2}}=1$，則a²=$\frac{1}{4}$，b²=$\frac{1}{2}$，c²=$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{4}$，
即c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，b=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則F（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），
則以O(shè)F為直徑的圓的方程為（x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²+y²=$\frac{3}{16}$，
雙曲線的一條漸近線為y=$\sqrt{2}$x，代入（x-$\frac{\sqrt{3}}{4}$）²+y²=$\frac{3}{16}$，
得x=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，y=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，即P（$\frac{\sqrt{3}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$），
則|PF|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{6}}{6}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}+\frac{1}{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，利用方程思想求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程以及交點(diǎn)坐標(biāo)是解決本題的關(guān)鍵．