Question

已知

a

=（

3

，1），

b

=（sin（ωx+φ），cos（ωx+φ）），（ω＞0，|φ|＜

π

2

），記函數(shù)f（x）=

a

•

b

且f（-x）=-f（x）又f（x）的最小正周期為π．
（1）求ω及φ的值；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則計(jì)算

a

•

b

，列出函數(shù)解析式，再利用和差角公式化簡(jiǎn)，最后函數(shù)的奇偶性和周期性得到ω及φ的值；
（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式組，求出不等式組的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵

a

=（

3

，1），

b

=（sin（ωx+φ），cos（ωx+φ）），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+

π

6

），
∵f（x）的最小正周期為π，ω＞0，
∴ω=2，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（0）=0，
即sin（φ+

π

6

）=0，
又∵|φ|＜

π

2

，
∴φ=-

π

6

，
（2）由（1）得f（x）=2sin2x，
由2x∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
得x∈[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]（k∈Z），
故f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

4

，kπ+

π

4

]（k∈Z）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識(shí)有：平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是解本題的關(guān)鍵．