Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n=pn+q（n∈N^*，p＞0），數(shù)列{b_m}定義如下：對于正常數(shù)m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=2，q=-1，求b₁，b₂及數(shù)列{b_m}的通項公式；
（Ⅱ）是否存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的概念及簡單表示法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（I）p=2，q=-1，a_n=2n-1，根據(jù)對于正常數(shù)m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．可得b₁=1，同理b₂=2．b₃=2，b₄=3=b₅．…，分奇數(shù)偶數(shù)項即可歸納出．
（II）假設(shè)存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）．則b₁=5，根據(jù)對于正常數(shù)m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值，可得

a4=4p+q＜5 a5=5p+q≥5

，解得p＞0，q＜5．由b₂=8，同理可得p＞0，q＜8，…，即可得出．

解答： 解：（I）p=2，q=-1，a_n=2n-1，
∵對于正常數(shù)m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值．
∴b₁是使不等式a_n≥1成立的所有n中的最小值，又a₁=1．
∴b₁=1，
同理b₂=2．b₃=2，b₄=3=b₅．
∴b_m=

k，m=2k-1 k+1，m=2k

（k∈N^*）．
（II）假設(shè)存在p和q，使得b_m=3m+2（m∈N^*）．
則b₁=5，根據(jù)對于正常數(shù)m，b_m是使不等式a_n≥m成立的所有n中的最小值，
∴

a4=4p+q＜5 a5=5p+q≥5

，解得p＞0，q＜5．
由b₂=8，同理可得

a7=7p+q＜8 a8=8p+q≥8

，解得p＞0，q＜8，
…，
依此類推，存在p＞0，q＜5，使得b_m=3m+2（m∈N^*）．

點評：本題考查了新定義數(shù)列的通項公式的求法，考查了分析猜想歸納類推能力，屬于難題．