已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
1
2
，且過點(diǎn)（0，
3
），設(shè)點(diǎn)A，F(xiàn)分別為橢圓C的左頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過F的直線l交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)．
（1）設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，問k1k2是否為定值？并證明你的結(jié)論；
（2）記△APQ的面積為S，求S的最大值．
考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）根據(jù)離心率和上頂點(diǎn)，求解橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后，聯(lián)立方程組，求解點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)，然后，表示出直線PQ的方程，然后，將點(diǎn)F的坐標(biāo)代人即可；
（2）首先，設(shè)出直線PQ的方程，然后，聯(lián)立方程組，利用弦長公式和點(diǎn)到直線的距離，構(gòu)造面積表達(dá)式，然后，求解其最大值．
解答： 解：（1）∵e=
1
2
，
∴
c
a
=
1
2
，
∴a=2c，①
又過點(diǎn)（0，
3
），
∴b=
3
，②
聯(lián)立①②得
a=2，c=1，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．
∴A（-2，0），F(xiàn)（1，0），
∵直線AP，AQ的斜率分別為k1，k2，
∴直線AP的方程為：y=k1（x+2），
直線AQ的方程為y=k2（x+2），
聯(lián)立方程組
y=k1(x+2)
3x2+4y2=12
，
消去y并整理得
（3+4k12）x2+16k12x+16k12-12=0，
∴-2+x1=
-16k12
3+4k12
，
∴x1=
2-8k12
3+4k12
，代人直線方程，得
y1=
4k1
1+4k12
，
∴P（
2-8k12
1+4k12
，
4k1
1+4k12
），
同理，得
Q（
2-8k22
1+4k22
，
4k2
1+4k22
），
∴直線PQ的方程為：
y-
4k1
1+4k12
4k2
1+4k22
-
4k1
1+4k12
=
x-
2-8k12
1+4k12
2-8k22
1+4k22
-
2-8k12
1+4k12
，
將點(diǎn)（1，0）坐標(biāo)代人，并化簡，得
k1•k2=-
1
12
（定值），
（2）當(dāng)過點(diǎn)F的直線斜率不存在時(shí)，
此時(shí)P（1，
3
2
） Q（1，-
3
2
），
∴S=
1
2
×
3
×3=
3
3
2
，
當(dāng)過點(diǎn)F的直線斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則
方程為：y=k（x-1），
聯(lián)立方程組
y=k(x-1)
3x2+4y2=12
，消去y并整理，得
（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
∴x1+x2=
8k2
1+4k2
，x1•x2=
4k2-4
1+4k2
，
∴|PQ|=
(3+k2)
•
(x1+x2)2-4x1x2

=4
(3+k2)(1+3k2)
1+4k2
，
=
3+
13+40k2
16k4+8k2+1
，
∵點(diǎn)A（-2，0）到直線的距離為：
d=
|-2k-0-k|
1+k2
=
3|k|
1+k2

∴S=
1
2
×|PQ|×d
=
3
2
3-
8k2
16k4+8k2+1

=
3
2
3-
8
16k2+
1
k2
+8

≤
3
2
3-
8
2×
16k2•
1
k2
+8

=
3
2
×
5
2

=4.5，
∴S的最大值4.5．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查了橢圓的概念和基本性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于難題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

兩圓外切于點(diǎn)P，AB是它們的一條公切線（切點(diǎn)為AB），若△PAB的周長為40，面積為60，則點(diǎn)P到AB的距離為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

證明：
（1）若函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間I上都是增函數(shù)，則f（x）+g（x）在區(qū)間I上也一定是增函數(shù)．
（2）若函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間I上都是減函數(shù)，則f（x）+g（x）在區(qū)間I上也一定是減函數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

①若p∧q為假命題，則p，q均為假命題，
②x，y∈R，“若xy=0，則x2+y2=0的否命題是真命題”；
③直線和拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)是直線和拋物線相切的充要條件；
則其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
A、0B、1C、2D、3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q（n∈N*，p＞0），數(shù)列{bm}定義如下：對(duì)于正常數(shù)m，bm是使不等式an≥m成立的所有n中的最小值．
（Ⅰ）若p=2，q=-1，求b1，b2及數(shù)列{bm}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在p和q，使得bm=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q的取值范圍；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在△ABC中，D為BC邊上的中點(diǎn)，Po是邊AB上的一個(gè)定點(diǎn)，PoB=
1
4
AB，且對(duì)于AB上任一點(diǎn)P，恒有
PB
•
PC
≥
PoB
•
PoC
，則下列結(jié)論正確的是
 
（填上所有正確命題的序號(hào)）．
①當(dāng)P與A，B不重合時(shí)，
PB
+
PC
與
PD
共線；
②
PB
•
PC
=
PD2
-
DB2
；
③存在點(diǎn)P，使|
PD
|＜|
PoD
|；
④
PoC
•
AB
=0；
⑤AC=AB．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

在極坐標(biāo)系中，由ρ=2cosθ，ρcosθ+ρsinθ≤1所圍成圖形的面積是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點(diǎn)P（x0，y0），⊙O：x2+y2=r2（r＞O），直線l：x0x+y0y=r2，有以下幾個(gè)結(jié)論：（1）若點(diǎn)P在⊙O上，則直線l與⊙O相切；（2）若點(diǎn)P在⊙O外，則直線l與⊙O相離；（3）若點(diǎn)P在⊙O內(nèi)，則直線l與⊙O相交；（4）無論點(diǎn)P在何處，直線l與⊙O恒相切，其中正確的個(gè)數(shù)是（　　）
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x+
1
2
，		0≤x≤
1
2
2(1-x)，
1
2
＜x≤1
，定義fn（x）=
f(f(f(…f(x)…)))
n個(gè)f
，集合A={x|f10（x）=x，x∈[0，1]}，集合B={
2
15
，
2
3
，0，
1
2
，1}，則
（1）A∩B=
 
；
（2）集合A中元素的個(gè)數(shù)為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案