Question

設(shè)數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列；S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=n²+2n．
（1）求{a_n}及{b_n}的通項(xiàng)公式a_n和b_n；
（2）f（n）=

an，n為正奇數(shù) bn，n為正偶數(shù)

問是否存在k∈N⁺使f（k+27）=4f（k）成立？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由；
（3）若對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式 

a

(1+ 1 b1 )(1+ 1 b2 )(1+ 1 bn )

-

1

n-1+an+1

≤0恒成立，求正數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式能求出a_n=4+n-1=n+3，由bn=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，能求出b_n=2n+1．（2）假設(shè)符合條件的k（k∈N*）存在，由于f（n）=

n+3，n為正奇數(shù) 2n+1，n為正偶數(shù)

，當(dāng)k為正奇數(shù)時(shí)，k+27為正偶數(shù)，
當(dāng)k為正偶數(shù)時(shí)，k+27為正奇數(shù)，由此推導(dǎo)出符合條件的正整數(shù)k不存在．
（3）將不等式變形并把a(bǔ)_n+1=n+4，設(shè)g（n）=

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

），由此能求出正數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為4，公差為1的等差數(shù)列，
∴a_n=4+n-1=n+3，
∵S_n為數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和，且S_n=n²+2n，
∴當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，b_n=S_n-S_n-1=n²+2n-（n-1）²-2（n-1）=2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，
∴b_n=2n+1，n∈N^*．
（2）假設(shè)符合條件的k（k∈N*）存在，
由于f（n）=

n+3，n為正奇數(shù) 2n+1，n為正偶數(shù)

，
∴當(dāng)k為正奇數(shù)時(shí)，k+27為正偶數(shù)，
由f（k+27）=4f（k），得2（k+27）+1=4（k+3），
∴2k=43，k=

43

2

（舍）
當(dāng)k為正偶數(shù)時(shí)，k+27為正奇數(shù)，
由f（k+27）=4f（k），得（k+27）+3=4（2k+1），
即7k=26，k=

26

7

（舍）
因此，符合條件的正整數(shù)k不存在．
（3）將不等式變形并把a(bǔ)_n+1=n+4，
代入得a≤

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

），
設(shè)g（n）=

1

2n+3

（1+

1

b1

）（1+

1

b2

）（1+

1

b3

）…（1+

1

bn

），
∴

g(n+1)

g(n)

=

2n+3

2n+5

(1+

1

bn+1

)
=

2n+3

2n+5

×

2n+4

2n+3

=

2n+4

2n+5 • 2n+3

，
又∵

(2n+5)(2n+3)

＜

(2n+5)+(2n+3)

2

=2n+4，
∴

g(n+1)

g(n)

＞1，即g（n+1）＞g（n），
∴g（n）隨n的增大而增大，∴g（n）_min=g（1）=

1

5

(1+

1

3

)=

4 5

15

，
∴0＜a≤

4 5

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．