Question

16．如圖，多面體ABCDE中，CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AB=BC，BE=$\frac{1}{2}$CD，
點(diǎn)M為AD中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：EM∥平面ABC；
（Ⅱ）求證：EM⊥平面ACD；
（Ⅲ）設(shè)P為線段BC上一點(diǎn)，且CP=2PB，試在線段AE上確定一點(diǎn)Q，使得
     PQ∥平面ACD，并求出$\frac{EQ}{AE}$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)AC的中點(diǎn)為F，連結(jié)BF，MF．可證得四邊形BEMF為平行四邊形，進(jìn)而ME∥BF，結(jié)合線面平行的判定定理，可得EM∥平面ABC；
（Ⅱ）在△ABC中，AB=BC，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，所以BF⊥AC，再由線面垂直的定義，結(jié)合CD⊥平面ABC，可得DC⊥BF，進(jìn)而由線面垂直的判定定理，得到BF⊥平面ACD，結(jié)合線面垂直的第二判定定理得到EM⊥平面ACD；
（Ⅲ）過點(diǎn)P作PN∥AC交AB于N，過點(diǎn)N作QN∥BE交AE于Q，連結(jié)PQ，此時(shí)PQ∥平面ACD，由比例關(guān)系易得$EQ=\frac{1}{3}AE$．

解答 證明：（Ⅰ）設(shè)AC的中點(diǎn)為F，連結(jié)BF，MF．
在△ACD中，點(diǎn)M為AD中點(diǎn)，
$所以\;FM∥CD，F(xiàn)M=\frac{1}{2}CD$…（1分）
又因?yàn)镃D⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，
$所以\;BE∥CD，BE=\frac{1}{2}CD$，…（2分）
所以BE∥FM，BE=FM…（3分）
所以四邊形BEMF為平行四邊形．…（4分）
所以ME∥BF，ME?平面ABC，BF?平面ABC，
故EM∥平面ABC．…（5分）
（Ⅱ）在△ABC中，AB=BC，F(xiàn)為AC的中點(diǎn)，所以BF⊥AC．…（7分）
又因?yàn)镃D⊥平面ABC，BF?平面ABC，
所以DC⊥BF．…（8分）
因?yàn)镃D∩AC=C，
所以BF⊥平面ACD
由（Ⅰ）知 ME∥BF，
所以 EM⊥平面ADC．…（9分）
（Ⅲ）過點(diǎn)P作PN∥AC交AB于N，過點(diǎn)N作QN∥BE交AE于Q，
連結(jié)PQ，則由比例關(guān)系易得$EQ=\frac{1}{3}AE$．…（10分）
所以PN∥AC，PN?平面ACD，AC?平面ACD．…（11分）
所以PN∥平面ACD．
因?yàn)镃D⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，
所以CD∥BE．
$\begin{array}{l}故QN∥CD，\\ 又因?yàn)镼N?平面ACD，CD?平面ACD，\end{array}$，…（12分）
由CD∩AC=C，CD，AC?平面ADC．
所以平面PQN∥平面ACD，
由PQ?平面PQN．
故PQ∥平面ACD．
$所以\frac{EQ}{AE}=\frac{1}{3}$．…（14分）

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是直線與平面平行的判定，直線平面垂直的判定，考查轉(zhuǎn)化能力和空間想像能力，難度中檔．