Question

6．已知點(diǎn)A（-1，0），B（0，1），點(diǎn)P是圓（x-a）²+y²=1上的動點(diǎn)，當(dāng)數(shù)量積$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$取得最小值2時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 設(shè)點(diǎn)P（a+cosθ，sinθ），求得$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$=a+cosθ+1+sinθ=a+1+$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），再利用余弦函數(shù)的值域、$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的最小值為2，求得a的值

解答 解：設(shè)點(diǎn)P（a+cosθ，sinθ），則由點(diǎn)A（-1，0），B（0，1），
可得$\overrightarrow{AB}$=（1，1），$\overrightarrow{AP}$=（a+cosθ+1，sinθ），
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$=a+cosθ+1+sinθ=a+1+$\sqrt{2}$cos（θ+$\frac{π}{4}$），
故當(dāng)cos（θ+$\frac{π}{4}$）=-1時，故數(shù)量積$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AP}$的最小值為a+1-$\sqrt{2}$=2，∴a=1+$\sqrt{2}$，此時θ=$\frac{3π}{4}$；
故答案為：（1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

點(diǎn)評 本題主要考查兩個向量的數(shù)量積公式，三角函數(shù)的恒等變換，余弦函數(shù)的值域，屬于基礎(chǔ)題