1．一個正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個以球心為圓心的圓上，則該正三棱錐的體積是（　�。�
A．$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$B．$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$C．$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$D．$\frac{{\sqrt{3}}}{12}$

分析 正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的三個頂點在該球的一個大圓上，所以球心是底面三角形的中心，球的半徑，就是三棱錐的高，再求底面面積，即可求解三棱錐的體積．

解答 解：正三棱錐的四個頂點都在半徑為1的球面上，其中底面的
三個頂點在該球的一個大圓上，所以球心是底面三角形的中心，
設(shè)球的半徑為1，所以底面三角形的邊長為a，$\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a=1$，∴a=$\sqrt{3}$
該正三棱錐的體積：$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}×（\sqrt{3}）^{2}×1$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$．
故選：C．

點評 本題考查棱錐的體積，棱錐的外接球的問題，考查空間想象能力，是基礎(chǔ)題．

練習(xí)冊系列答案
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11．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點，橢圓C上一點$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，過左焦點垂直x軸與橢圓相交所得弦長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點E（1，0）的直線與該橢圓交于P、Q兩點，且|EP|=2|EQ|，求此直線的方程；
（3）斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，O是原點，當(dāng)△OAB面積最大時，求直線l的方程；
（4）若P是橢圓C上任意一點，⊙M是以PF2為直徑的圓，求證：⊙M總與定圓x2+y2=a2相切．

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12．已知函數(shù)$y=|{log_{\frac{1}{2}}}x|$的定義域為$[{\frac{1}{4}，8}]$，則該函數(shù)值域為[0，3]．

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9．函數(shù)$f（x）=\frac{ln（1+x）}{{\sqrt{1-x}}}$的定義域為（-1，1）．（用集合或區(qū)間表示）

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16．已知雙曲線C1：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞0，b＞0）的離心率為2，若拋物線C2：x2=2py（p＞0）的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則p=8．

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6．已知三條直線l1：2x-y+1=0，l2：x+y-4=0，l3：x+ay+2=0不能圍成三角形，求實數(shù)a的值．

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13．已知$sin\frac{α}{2}-cos\frac{α}{2}=-\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，且cosα＜0，則tanα=（　�。�
A．$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$B．$-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$C．$\sqrt{3}$D．$-\sqrt{3}$

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10．已知x，y滿足-$\frac{π}{2}$＜y＜0$＜x＜\frac{π}{2}$，且cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則cos（x+$\frac{y}{2}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

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11．如圖，在△AOB中，已知P為線段AB上的一點，且$\overrightarrow{BP}$=2$\overrightarrow{PA}$．
（1）若$\overrightarrow{OP}$=x$\overrightarrow{OA}$+y$\overrightarrow{OB}$，求x，y的值；
（2）若|$\overrightarrow{OB}$|=6，且∠AOB=$\frac{π}{3}$，求$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{AB}$的最大值．

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