Question

11．設(shè)F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點，橢圓C上一點$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，過左焦點垂直x軸與橢圓相交所得弦長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過點E（1，0）的直線與該橢圓交于P、Q兩點，且|EP|=2|EQ|，求此直線的方程；
（3）斜率為1的直線l與橢圓C交于A，B兩點，O是原點，當(dāng)△OAB面積最大時，求直線l的方程；
（4）若P是橢圓C上任意一點，⊙M是以PF₂為直徑的圓，求證：⊙M總與定圓x²+y²=a²相切．

Answer 1

分析 （1）由橢圓C上一點$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，過左焦點垂直x軸與橢圓相交所得弦長為2，建立方程，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（2）設(shè)直線方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，利用韋達定理，結(jié)合|EP|=2|EQ|，求出k，即可求此直線的方程；
（3）設(shè)直線l方程為y=x+m，代入橢圓方程，求出|AB|，點O到直線l的距離，表示出面積，即可求出當(dāng)△OAB面積最大時，直線l的方程；
（4）證明圓心距等于半徑的差即可．

解答 （1）解：由題意$\frac{2^{2}}{a}$=2，
∵橢圓C上一點$（\sqrt{3}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}）$，∴$\frac{3}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{1}{2}}{^{2}}$=1，
∴a=2，b²=2
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1$------（3分）
（2）解：設(shè)直線方程為y=k（x-1），代入橢圓方程，可得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-4=0，
∵|EP|=2|EQ|，
∴2$\sqrt{2}$-x_P=2（2$\sqrt{2}$-x_Q），
∴2x_Q-x_P=2$\sqrt{2}$①，
∵x_Q+x_P=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$②，x_Qx_P=$\frac{2{k}^{2}-4}{1+2{k}^{2}}$③，
由①②③得$k=±\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，
∴直線的方程為y=±$\frac{\sqrt{30}}{6}$（x-1）…（7分）
（3）解：設(shè)直線l方程為y=x+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{2}=1\\ y=x+m\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-4=0
△=16m²-4×3×（2m²-4）＞0，解得$-\sqrt{6}＜m＜\sqrt{6}$，
${x_1}+{x_2}=-\frac{4}{3}m$，${x_1}{x_2}=\frac{{2{m^2}-4}}{3}$，
$|AB|=\sqrt{{{（1+1）}^2}[{{（{x_1}-{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}]}=\frac{4}{3}\sqrt{6-{m^2}}$
點O到直線l的距離為$d=\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}$
∴${S_{△AOB}}=\frac{1}{2}×|AB|×d=\frac{{\sqrt{2}}}{3}\sqrt{-{{（{m^2}-3）}^2}+9}$
當(dāng)m²=3＜6時，S_△AOB有最大值$\sqrt{2}$，此時$m=±\sqrt{3}$
∴所求直線l的方程為$y=x±\sqrt{3}$．-----（10分）
（4）證明：設(shè)P（x₀，y₀），∵${F_2}（\sqrt{2}，0）$，∴M點坐標為$（\frac{{{x_0}+\sqrt{2}}}{2}，\frac{y_0}{2}）$
∴圓心距$OM=\sqrt{{{（\frac{{{x_0}+\sqrt{2}}}{2}）}^2}+{{（\frac{y_0}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{\frac{1}{2}{x_0}^2+2\sqrt{2}{x_0}+4}}}{2}=\frac{{{x_0}+2\sqrt{2}}}{{2\sqrt{2}}}$，
⊙M的半徑$M{F_2}=\sqrt{{{（\frac{{{x_0}-\sqrt{2}}}{2}）}^2}+{{（\frac{y_0}{2}）}^2}}=\frac{{\sqrt{\frac{1}{2}{x_0}^2-2\sqrt{2}{x_0}+4}}}{2}=\frac{{2\sqrt{2}-{x_0}}}{{2\sqrt{2}}}$$a-M{F_2}=2-\frac{{2\sqrt{2}-{x_0}}}{{2\sqrt{2}}}=\frac{{2\sqrt{2}+{x_0}}}{{2\sqrt{2}}}=OM$
∴⊙M總與定圓x²+y²=a²相內(nèi)切．------14

點評 本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．直線與圓錐曲線聯(lián)系在一起的綜合題在高考中多以高檔題、壓軸題出現(xiàn)，主要涉及位置關(guān)系的判定，弦長問題、最值問題、對稱問題、軌跡問題等．突出考查了數(shù)形結(jié)合、分類討論、函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想方法．