Question

10．已知x，y滿(mǎn)足-$\frac{π}{2}$＜y＜0$＜x＜\frac{π}{2}$，且cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，則cos（x+$\frac{y}{2}$）=$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 由條件利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sin（$\frac{π}{4}$+x）和sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）的值，再利用兩角差的余弦公式求得cos（x+$\frac{y}{2}$）=cos[（$\frac{π}{4}$+x）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）]的值．

解答 解：x，y滿(mǎn)足-$\frac{π}{2}$＜y＜0$＜x＜\frac{π}{2}$，且cos（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
可得$\frac{π}{4}$+x 和$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$都是銳角，
∴sin（$\frac{π}{4}$+x）=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos（x+$\frac{y}{2}$）=cos[（$\frac{π}{4}$+x）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）]=cos（$\frac{π}{4}$+x）cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）+sin（$\frac{π}{4}$+x）sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{y}{2}$）
=$\frac{1}{3}•\frac{\sqrt{3}}{3}$+$\frac{2\sqrt{2}}{3}•\frac{\sqrt{6}}{3}$=$\frac{{5\sqrt{3}}}{9}$，
故答案為：$\frac{5\sqrt{3}}{9}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角差的余弦公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．