【題目】如圖,橢圓E: 的左焦點(diǎn)為F1 , 右焦點(diǎn)為F2 , 離心率e= .過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為8.
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)設(shè)動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P,且與直線(xiàn)x=4相交于點(diǎn)Q.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)M,使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
【答案】解:(Ⅰ)∵過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為8.
∴4a=8,∴a=2
∵e= ,∴c=1
∴b2=a2﹣c2=3
∴橢圓E的方程為 .
(Ⅱ)由 ,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0
∵動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0 , y0)
∴m≠0,△=0,∴(8km)2﹣4×(4k2+3)×(4m2﹣12)=0
∴4k2﹣m2+3=0①
此時(shí)x0= = ,y0= ,即P( , )
由 得Q(4,4k+m)
取k=0,m= ,此時(shí)P(0, ),Q(4, ),以PQ為直徑的圓為(x﹣2)2+(y﹣ )2=4,交x軸于點(diǎn)M1(1,0)或M2(3,0)
取k=- ,m=2,此時(shí)P(1, ),Q(4,0),以PQ為直徑的圓為(x﹣ )2+(y﹣ )2= ,交x軸于點(diǎn)M3(1,0)或M4(4,0)
故若滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M存在,只能是M(1,0),證明如下
∵
∴
故以PQ為直徑的圓恒過(guò)x軸上的定點(diǎn)M(1,0)
方法二:
假設(shè)平面內(nèi)存在定點(diǎn)M滿(mǎn)足條件,因?yàn)閷?duì)于任意以PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)M,所以當(dāng)PQ平行于x軸時(shí),圓也過(guò)定點(diǎn)M,即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(0, )或(0,﹣ ),由圖形對(duì)稱(chēng)性知兩個(gè)圓在x軸上過(guò)相同的交點(diǎn),即點(diǎn)M必在x軸上.設(shè)M(x1 , 0),則 =0對(duì)滿(mǎn)足①式的m,k恒成立.
因?yàn)? =( ﹣x1 , ),
=(4﹣x1 , 4k+m),由 =0得﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0,
整理得(4x1﹣4) +x12﹣4x1+3=0.②
由于②式對(duì)滿(mǎn)足①式的m,k恒成立,所以 ,解得x1=1.
故存在定點(diǎn)M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)M.
【解析】(Ⅰ)根據(jù)過(guò)F1的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn),且△ABF2的周長(zhǎng)為8,可得4a=8,即a=2,利用e= ,b2=a2﹣c2=3,即可求得橢圓E的方程.(Ⅱ)由 ,消元可得(4k2+3)x2+8kmx+4m2﹣12=0,利用動(dòng)直線(xiàn)l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)P(x0 , y0),可得m≠0,△=0,進(jìn)而可得P( , ),由 得Q(4,4k+m),取k=0,m= ;k=- ,m=2,猜想滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M存在,只能是M(1,0),再進(jìn)行證明即可.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】石嘴山三中最強(qiáng)大腦社對(duì)高中學(xué)生的記憶力x和判斷力y進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析,得下表數(shù)據(jù)
x | 6 | 8 | 10 | 12 |
y | 2 | 3 | 5 | 6 |
(1)請(qǐng)根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線(xiàn)性回歸方程 ,預(yù)測(cè)記憶力為9的同學(xué)的判斷力.
(2)若記憶力增加5個(gè)單位,預(yù)測(cè)判斷力增加多少個(gè)單位?
參考公式:
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①f(x)在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的;
②f(x2)在[1, ]上具有性質(zhì)P;
③若f(x)在x=2處取得最大值1,則f(x)=1,x∈[1,3];
④對(duì)任意x1 , x2 , x3 , x4∈[1,3],有 [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]
其中真命題的序號(hào)是( )
A.①②
B.①③
C.②④
D.③④
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【題目】如圖,在直角坐標(biāo)中,設(shè)橢圓:的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為,,過(guò)右焦點(diǎn)且與軸垂直的直線(xiàn)與橢圓相交,其中一個(gè)交點(diǎn)為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為,直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的和交點(diǎn),請(qǐng)問(wèn)是否存在常數(shù),使得向量與共線(xiàn)?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知集合A={x∈R|3x+2>0},B={x∈R|(x+1)(x﹣3)>0},則A∩B=( )
A.(﹣∞,﹣1)
B.(﹣1, )
C.﹙ ,3﹚
D.(3,+∞)
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【題目】已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2,若同時(shí)滿(mǎn)足條件:
①x∈R,f(x)<0或g(x)<0;
②x∈(﹣∞,﹣4),f(x)g(x)<0.
則m的取值范圍是
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【題目】設(shè)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是2.8,方差是3.6,若將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上10,得到一組新數(shù)據(jù),則所得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別是( )
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【題目】已知橢圓.
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(2)若過(guò)點(diǎn)任作一條直線(xiàn)與橢圓交于不同的兩點(diǎn),在軸上是否存在點(diǎn),使得 若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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