【題目】如圖,在直角坐標中,設橢圓:的左右兩個焦點分別為,,過右焦點且與軸垂直的直線與橢圓相交,其中一個交點為.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知,經(jīng)過點且斜率為,直線與橢圓有兩個不同的和交點,請問是否存在常數(shù),使得向量與共線?如果存在,求出的值;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1)橢圓C的方程為;(2)不存在常數(shù),使得向量與共線,理由見解析。
【解析】
試題分析:
(1)由題意結(jié)合橢圓的定義有:,在中應用勾股定理可得,結(jié)合可得,則橢圓的方程為.
(2)當直線的斜率不存在時,不滿足題意;
當直線斜率存在時:設直線的方程為,與橢圓方程聯(lián)立可得,由判別式大于零可得.設,由韋達定理可得 ,,而,則原問題等價于.聯(lián)立方程可得.而,故不存在常數(shù),使得向量與共線.
試題解析:
(1)由橢圓定義可知.
由題意,.
又由△可知,,,
又,得.
橢圓的方程為.
(2)當直線的斜率不存在時,不滿足題意;
直線斜率存在時,設直線的方程為,
代入橢圓方程,得.
整理,得①
因為直線與橢圓有兩個不同的交點和等價于,
解得.
設,則=,
由①得②
又③
因為,所以.
所以與共線等價于.
將②③代入上式,解得.
因為
所以不存在常數(shù),使得向量與共線.
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【題目】已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓的焦點與頂點,若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構成的四邊形恰為正方形,則橢圓的離心率為( 。
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在四棱錐中,平面,四邊形是直角梯形,.
(1)求二面角的余弦值;
(2)設是棱上一點,是的中點,若與平面所成角的正弦值為,求線段的長.
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【題目】已知關于x的一次函數(shù).
(Ⅰ)設集合和,分別從集合和中隨機取一個數(shù)作為m和n,求函數(shù)是增函數(shù)的概率;
(Ⅱ)實數(shù)m,n滿足條件求函數(shù)的圖象經(jīng)過一、二、三象限的概率.
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【題目】對于實數(shù)a和b,定義運算“*”:a*b= 設f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且關于x的方程為f(x)=m(m∈R)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1 , x2 , x3 , 則x1x2x3的取值范圍是 .
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【題目】如圖,橢圓E: 的左焦點為F1 , 右焦點為F2 , 離心率e= .過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.
(Ⅰ)求橢圓E的方程.
(Ⅱ)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究:在坐標平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.
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【題目】如圖,在四面體A-BCD中,AD平面BCD,BCCD,CD=2,AD=4.M是AD的中點,P是BM的中點,點Q在線段AC上,且AQ=3QC.
(I)證明:PQ//平面BCD;
(II)若異面直線PQ與CD所成的角為,二面角C-BM-D的大小為,求cos的值。
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