Question

17．若橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的左右焦點為F₁、F₂，P是橢圓上一點，當(dāng)△F₁PF₂的面積最大時，$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$的值為（　�。�

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． -2

Answer 1

分析 求出橢圓的a，b，c，設(shè)出P（m，n），由△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|n|，由題意的范圍，可得當(dāng)|n|=1時，S最大．求得P的坐標(biāo)，運用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，計算即可得到所求．

解答 解：橢圓$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$的a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$，
設(shè)P的坐標(biāo)為（m，n），則n|≤1，
△F₁PF₂的面積S=$\frac{1}{2}$|F₁F₂|•|n|
=c|n|=$\sqrt{3}$|n|，
當(dāng)|n|=1時，S最大．
即有P（0，±1），
又F₁（-$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{3}$，0），
$\overrightarrow{P{F}_{1}}$=（-$\sqrt{3}$-m，-n），$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=（$\sqrt{3}$-m，-n），
則$\overrightarrow{P{F_1}}•\overrightarrow{P{F_2}}$=m²-3+n²=0-3+1=-2．
故選D．

點評 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的范圍的運用，同時考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．