Question

7．若x、y滿足$\left\{\begin{array}{l}x+3y-5≥0\\ x+y≤7\\ x-2≥0\end{array}$，則z=x+ay的最大值為12，則實(shí)數(shù)a=2或-4．

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識(shí)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)z=x-ay（a＞0）的最大值為1，然后根據(jù)條件即可求出a的值．

解答 解：作出不等式組$\left\{\begin{array}{l}x+3y-5≥0\\ x+y≤7\\ x-2≥0\end{array}\right.$對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：（陰影部分）．
由z=x+ay的最大值為12，得y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，
當(dāng)a＞0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-$\frac{1}{a}$＜0，
平移直線y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線的截距最小，此時(shí)z最大為12，即x+ay=12．
由$\left\{\begin{array}{l}x+y=7\\ x-2=0\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=5\end{array}\right.$，
即A（2，5），
此時(shí)2+5a=12．
解得a=2．
當(dāng)a＜0，∴目標(biāo)函數(shù)的斜率k=-$\frac{1}{a}$＞0，
平移直線y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$-\frac{1}{a}x+\frac{z}{a}$經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，直線的截距最大為12，即x+ay=12．
由$\left\{\begin{array}{l}x+3y-5=0\\ x+y=7\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}x=8\\ y=-1\end{array}\right.$，
即B（8，-1），
此時(shí)8-a=12．
解得a=-4．
故答案為：2或-4．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃問題中的基本方法．