Question

18．已知函數(shù)f（x）是R奇函數(shù)，在（0，+∞）是增函數(shù)且f（1）=0，則f（log₂a）＞0的a的取值范圍是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$＜a＜1或a＞2
• B． 0$＜a＜\frac{1}{2}$
• C． 0$＜a＜\frac{1}{2}$或a＞2
• D． a＞2

Answer 1

分析 根據(jù)奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且f（1）=0，可知函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的單調性和零點，從而把不等式f（log₂a）＞0利用函數(shù)的單調性轉化為自變量不等式．

解答 解：∵奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是增函數(shù)，
∵f（1）=0，∴f（-1）=0
∴不等式f（log₂a）＞0等價于；
1°log₂a＞0時，f（log₂a）＞f（1）
∴l(xiāng)og₂a＞1，∴a＞2；
2°log₂a＜0時，f（log₂a）＞f（-1）
∴-1＜log₂a＜0，
∴$\frac{1}{2}$＜a＜1；
綜上x取值范圍是$\frac{1}{2}$＜a＜1或a＞2．
故選：A．

點評 考查函數(shù)的奇偶性和單調性，及根據(jù)函數(shù)的單調性轉化不等式，體現(xiàn)了轉化的思想方法，和分類討論的思想，屬中檔題．