Question

3．已知圓C經(jīng)過三個點A（4，1），B（6，-3），C（-3，0）．
（1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過點M（-4，-2）作圓C的切線，求切線的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出圓的一般式方程，把三個點A（4，1），B（6，-3），C（-3，0）的坐標(biāo)代入，求得D、E、F的值，即可求得圓的方程．
（2）分類討論，利用圓心到直線的距離等于半徑即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)圓C的一般方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，
因為點A（4，1），B（6，-3），C（-3，0）在所求的圓上，
所以$\left\{\begin{array}{l}{17+4D+E+F=0}\\{45+6D-3E+F=0}\\{9-3D+F=0}\end{array}\right.$，
所以D=-2，E=6，F(xiàn)=-15，
所以圓C的方程為x²+y²-2x+6y-15=0，標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）²+（y+3）²=25；
（2）直線的斜率不存在時，直線方程為x=-4，滿足題意；
設(shè)切線方程為y+2=k（x+4），即kx-y+4k-2=0，
所以圓心到直線的距離d=$\frac{|k+3+4k-2|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=5，
所以k=$\frac{12}{5}$，
所以直線方程為y=-2+$\frac{12}{5}$×（x+4）=$\frac{12}{5}x+\frac{38}{5}$，
綜上所述，切線的方程為y=$\frac{12}{5}x+\frac{38}{5}$或x=-4．

點評 本題主要考查用待定系數(shù)法求圓的方程，點到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．